Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Kelipatan adalah mengalikan bilangan dengan setiap bilangan asli secara berurutan. Contoh:

Kelipatan 2 = 2 × 1, 2 × 2, 2 × 3, 2 × 4, 2 × 5, ...
Kelipatan 2 = 2, 4, 6, 8, 10, ...

Kelipatan persekutuan adalah bilangan kelipatan dari dua bilangan atau lebih yang besarnya sama. Contoh:
Tentukan kelipatan persekutuan dari 2 dan 3.
Penyelesaian:
Kelipatan 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...
Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
Kelipatan persekutuan 2 dan 3 = 6, 12, 18, ...

KPK atau Kelipatan Persekutuan Terkecil adalah kelipatan paling kecil yang sama dari dua bilangan atau lebih. Cara menentukan KPK:

• Metode kelipatan
• Metode faktorisasi prima 

Langkah-langkah menentukan KPK menggunakan metode kelipatan:

1. Tuliskan kelipatan masing-masing bilangan.
2. Cari kelipatan persekutuan.
3. Ambil kelipatan persekutuan yang paling kecil

Langkah-langkah menentukan KPK menggunakan metode faktorisasi prima:

1. Tentukan faktorisasi prima dari masing-masing bilangan.
2. Ambil faktor prima dengan pangkat terbesar.
3. Kalikan semua faktor tersebut.

Contoh:
Tentukan KPK dari 8 dan 12 menggunakan metode kelipatan dan faktorisasi prima.

Penyelesaian:

Metode kelipatan
Kelipatan 8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ...
Kelipatan 12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 106, 120, ...
Kelipatan persekutuan 8 dan 12 = 24, 48, 72, ...
KPK 8 dan 12 = 24

Metode faktorisasi prima
8 = 2³
12 = 2² × 3
KPK 8 dan 12 = 2³ × 3  = 8 × 3 = 24

KPK sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya untuk menentukan waktu pertemuan suatu kejadian yang berulang secara bersamaan. Contoh:

Di sebuah taman, lampu A menyala setiap 12 menit, lampu B setiap 18 menit, dan lampu C setiap 24 menit. Jika ketiganya menyala bersamaan pada pukul 18.00, pada pukul berapa ketiga lampu akan menyala bersamaan untuk kedua kalinya?

Penyelesaian:
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
24 = 2³ × 3
KPK 12, 18, dan 24 = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72 menit
Ketiga lampu menyala bersamaan untuk kedua kalinya
= 18.00 + 72 menit
= 18.00 + 01.12
= 19.12

Tiga kelompok siswa memiliki jadwal piket kelas. Kelompok A setiap 6 hari, kelompok B setiap 8 hari, dan kelompok C setiap 12 hari. Jika mereka piket bersama pada tanggal 1 Maret, pada tanggal berapa mereka akan piket bersama lagi untuk ketiga kalinya?

Penyelsaian:
6 = 2 × 3
8 = 2³
12 = 2² × 3
KPK 6, 8, dam 12 = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24 hari
Piket bersama pertama = 1 Maret
Piket bersama kedua = 1 Maret + 24 hari = 25 Maret
Piket bersama ketiga = 25 Maret + 24 hari = 49 - 31 (Tanggal terakhir Maret) = 18 April

Soal HOTS

1. Tiga air mancur menyala secara otomatis. Air mancur 1 setiap 9 menit, air mancur 2 setiap 12 menit, dan air mancur 3 setiap 15 menit. Jika ketiganya menyala bersama pada pukul 06.00, berapa kali mereka menyala bersamaan sampai pukul 13.00?
   Penyelesaian:
   9 = 3²
   12 = 2² × 3
   15 = 3 × 5
   KPK 9, 12, dan 15 = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180 menit = 3 jam
   Menyala bersamaan pertama kali = 06.00
   Menyala bersamaan kedua kali = 06.00 + 03.00 = 09.00
   Menyela bersamaan ketiga kali = 09.00 + 03.00 = 12.00
   Ketiga lampu menyala bersamaan tiga kali dari pukul 06.00 - 13.00.
   
   
2. Tentukan KPK dari (20² - 10²), (5² + 12), dan (6 × 10).
   Penyelesaian:
   20² - 10² = (20 + 10)(20 - 10) = 30.10 = 300
   5² + 12 = 25 + 12 = 37
   6 × 10 = 60
   300 = 2² × 3 × 5²
   37 = 37
   60 = 2² × 3 × 5
   KPK 300, 37, dan 60 = 2² × 3 × 5² × 37 = 4 × 3 × 25 × 37 = 11.100
   
   
3. Seorang tukang ingin menyusun ubin sepanjang satu sisi lantai tanpa perlu memotong ubin. Ia memiliki tiga jenis ubin persegi dengan panjang sisi 8 cm, 12 cm, dan 20 cm. Berapa panjang sisi lantai minimum agar semua jenis ubin bisa disusun rapi tanpa dipotong? Berapa banyak ubin untuk masing-masing ukuran pada panjang tersebut?
   Penyelesaian:
   Panjang sisi lantai minimum:
   8 = 2³
   12 = 2² × 3
   20 = 2² × 5
   KPK 8, 12, dan 20 = 2³ × 3 × 5 = 8 × 3 × 5 = 120 cm
   Banyaknya ubin 8 cm = 120 : 8 = 5 ubin
   Banyaknya ubin 12 cm = 120 : 12 = 10 ubin
   Banyaknya ubin 20 cm = 120 : 20 = 6 ubin